拉格朗日插值公式的简单推导 | 缘神

定理(拉格朗日插值公式):对于区间$[a,b]$上的某函数$f(x)$,若已知其在点$x_0,\dots,x_n$处的$n+1$个值$f(x_0),\dots,f(x_n)$,设

$$l_k(x)=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_n)}{(x_k-x_0)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_n)},k=0,\dots,n$$

则多项式

$$L(x)=\sum^n_{k=0}f(x_k)l_k(x)$$

满足条件,其称为拉格朗日插值多项式
特别地,若令$\omega(x)=(x-x_0)\cdots(x-x_n)$,则该公式可紧凑地写为

$$L(x)=\sum^n_{k=0}\frac{\omega(x)}{\omega'(x_k)(x-x_k)}\cdot f(x_k)$$

证:
我们已知$n+1$个点,所以我们不妨设用一个$n$次函数进行拟合,即设$\displaystyle f(x)=\sum\limits^n_{i=0}a_ix^i$满足题设
分别带入这$n+1$个点,得到以$a_0,\dots,a_n$为未知数的线性方程组:

$$\mathbf{B}\begin{bmatrix} a_0\\a_1\\a_2\\\vdots\\ a_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&x_0^1&x_0^2&\cdots&x_0^n\\ 1&x_1^1&x_1^2&\cdots&x_1^n\\ 1&x_2^1&x_2^2&\cdots&x_2^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n^1&x_n^2&\cdots&x_n^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0\\a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(x_0)\\f(x_1)\\f(x_2)\\\vdots\\f(x_n) \end{bmatrix}$$

其解为:

$$a_{i}=\frac{|\mathbf{B}_{i}|}{|\mathbf{B}|}=\frac {\begin{vmatrix} 1&x_0^1&\cdots&x_0^{i-1}&f(x_0)&x_0^{i+1}&\cdots&x_0^n\\ 1&x_1^1&\cdots&x_1^{i-1}&f(x_1)&x_1^{i+1}&\cdots&x_1^n\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n^1&\cdots&x_n^{i-1}&f(x_n)&x_n^{i+1}&\cdots&x_n^n \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} 1&x_0^1&x_0^2&\cdots&x_0^n\\ 1&x_1^1&x_1^2&\cdots&x_1^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n^1&x_n^2&\cdots&x_n^n \end{vmatrix}}$$

我们考虑将$|\mathbf{B}_i|$沿第$i+1$列展开

$$f(x)=\frac{1}{|\mathbf{B}|}\sum^n_{i=0}\sum^n_{j=0}(-1)^{i+j}f(x_j)x^i|\mathbf{B}_{ij}| =\frac{1}{|\mathbf{B}|}\sum^n_{i=0}\sum^n_{j=0}(-1)^{i+j}f(x_j)x^i \begin{vmatrix} 1&x_0^1&\cdots&x_0^{i-1}&x_0^{i+1}&\cdots&x_0^n\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_{j-1}^1&\cdots&x_{j-1}^{i-1}&x_{j-1}^{i+1}&\cdots&x_{j-1}^n\\ 1&x_{j+1}^1&\cdots&x_{j+1}^{i-1}&x_{j+1}^{i+1}&\cdots&x_{j+1}^n\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n^1&\cdots&x_n^{i-1}&x_n^{i+1}&\cdots&x_n^n \end{vmatrix}$$

我们拆开,先对$i$计算,再把$(-x)^i|\mathbf{B}_{ij}|$单独拆进去:

$$\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{|\mathbf{B}|}\sum^n_{j=0}(-1)^jf(x_j)\left(\sum^n_{i=0}(-x)^i|\mathbf{B}_{ij}|\right)\\ \sum^n_{i=0}(-x)^i|\mathbf{B}_{ij}|=|\mathbf{C_j}| =\begin{vmatrix} 1&(-x)^1&(-x)^2&(-x)^3&\cdots&(-x)^n\\ 1&x_1^1&x_1^2&x_1^3&\cdots&x_1^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_{j-1}^1&x_{j-1}^2&x_{j-1}^3&\cdots&x_{j-1}^n\\ 1&x_{j+1}^1&x_{j+1}^2&x_{j+1}^3&\cdots&x_{j+1}^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&x_n^1&x_n^2&x_n^3&\cdots&x_n^n \end{vmatrix} \end{aligned}$$

故原式化为

$$f(x)=\frac{1}{|\mathbf{B}|}\sum^n_{j=0}(-1)^jf(x_j)\mathbf{C}_j$$

其中,$\mathbf{B};\mathbf{C}_j$是我们熟知的Vandermonde行列式
求比之后化简,即可得到原式