倍角公式以及和差角公式的纯几证法 | 缘神

以一种比较繁琐的几何方式暴力证明了倍角公式以及和差角公式

倍角公式

如图,在$Rt\triangle ACB$中,$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$,$DE\perp AB$交$AB$于点$E$
我们设$\angle CAD=\angle DAE=\alpha$,试求$2\alpha$的各三角函数值

我们不妨设$AB=1$,则$AC=AE=\cos(2\alpha),BC=\sin(2\alpha)$
从而$DC=DE=\tan(\alpha)\cos(2\alpha)$
进而,我们有$BE=1-\cos(2\alpha)$,$BD=\sin(2\alpha)-\cos(2\alpha)\tan(\alpha)$
同时,我们有$\triangle BDE\backsim\triangle BAC$
也就是有:

$$\begin{align*} \frac{BD}{BA}&=\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}\\ \sin(2\alpha)-\tan(\alpha)\cos(2\alpha)&=\frac{1-\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}=\frac{\tan(\alpha)\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \end{align*}$$

从而我们就会有:

$$\begin{cases} 1-\cos(2\alpha)=\tan(\alpha)\sin(2\alpha)\\ \sin(2\alpha)-\tan(\alpha)\cos(2\alpha)=\tan(\alpha) \end{cases}$$

也就是:

$$\begin{cases} \tan^2(\alpha)\sin(2\alpha)+\tan(\alpha)\cos(2\alpha)=\tan(\alpha)\\ \sin(2\alpha)-\tan(\alpha)\cos(2\alpha)=\tan(\alpha) \end{cases}$$

从而就有:

$$\tan^2(\alpha)\sin(2\alpha)+\sin(2\alpha)=2\tan(\alpha)$$

也就可以推出:

$$\begin{align*} \sin(2\alpha)&=\frac{2\tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}\\ \cos(2\alpha)&=\frac{\tan^2(\alpha)-1}{\tan^2(\alpha)+1}\\ \tan(2\alpha)&=\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}=\frac{2\tan(\alpha)}{\tan^2(x)-1} \end{align*}$$

综上,也就有:

$$\begin{cases} \sin(2\alpha)&=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\\ \cos(2\alpha)&=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\\ \tan(2\alpha)&=\dfrac{2\tan(\alpha)}{\tan^2(\alpha)-1} \end{cases}$$

和差角公式

如图,设$BD=r$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,$\angle CBD=\alpha$,$\angle ABD=\beta$
则$CD=r\sin(\alpha),BC=a=r\cos(\alpha),DE=r\sin(\beta),BE=r\cos(\beta)$
而$AE=c-BE=c-r\cos(\beta)$,$AD=b-CD=b-r\sin(\alpha)$
且有$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$,也就是有:

$$\begin{gather*} \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\\ \frac{b-r\sin(\alpha)}{c}=\frac{c-r\cos(\beta)}{b}=\frac{r\sin(\beta)}{r\cos(\alpha)} \end{gather*}$$

那么也就有

$$\begin{cases} c\cos(\alpha)-r\cos(\alpha)\cos(\beta)=b\sin(\beta)\\ b\cos(\alpha)-r\sin(\alpha)\cos(\alpha)=c\sin(\beta) \end{cases}$$

我们不妨令$\sin(\alpha+\beta)=x=\dfrac{b}{c}$,那么就有$b=c\sin(\alpha+\beta)$,带入即可得到:

$$\begin{cases} c\cos(\alpha)-r\cos(\alpha)\cos(\beta)=c\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta)\\ c\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha)-r\sin(\alpha)\cos(\alpha)=c\sin(\beta) \end{cases}$$

也就有:

$$\begin{cases} c(\cos(\alpha)-\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta))=r\cos(\alpha)\cos(\beta)\\ c(\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha)-\sin(\beta))=r\sin(\alpha)\cos(\alpha) \end{cases}$$

两者求比:

$$\begin{gather*} \frac{\cos(\alpha)-\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta)}{\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha)-\sin(\beta)}=\frac{\cos(\beta)}{\sin(\alpha)}\\ \sin(\alpha)\cos(\alpha)-\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha)\sin(\beta)=\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\beta)\\ \sin(\alpha+\beta)(\sin(\alpha)\sin(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\beta))=\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\sin(\beta)\cos(\beta)\\ \end{gather*}$$

$$\begin{align*} \sin(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\sin(\beta)\cos(\beta)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\beta)}\\ &=\frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)(\sin^2(\beta)+\cos^2(\beta))+\sin(\beta)\cos(\beta)(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))}{\sin(\alpha)\sin(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\beta)}\\ &=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta) \end{align*}$$

同理可以导出其他三角函数的和差角