很古老的一个梅涅劳斯定理记忆/使用方式,是我的物理竞赛老师之前教我的,想了很久也没想出来其所以然,个人感觉是有扩展性的但是由于种种原因一直没有进行实质性的扩展

梅涅劳斯定理与塞瓦定理

如图,我们设

$$\begin{align*} &AN=a,BM=b,CQ=c\\ &NC=xa,MA=yb,QB=zc\\ &AO=p,BO=q,CO=h\\ &OQ=\lambda_1 p,ON=\lambda_2 q,OM=\lambda_3 h \end{align*}$$

则由塞瓦定理,我们有$AM\cdot BQ\cdot CN=BM\cdot CQ\cdot AN$
即$xyz=abcxyz$,这些均不为$0$
从而$abc=1$
在$\triangle ABQ$中,由梅涅劳斯定理$AM\cdot BC\cdot OQ=BM\cdot QC\cdot AO$
即$yb\cdot(z+1)c\cdot \lambda_1 p=b\cdot c\cdot p$
从而$\displaystyle \lambda_1=\frac{1}{y(z+1)}$
在$\triangle BCN$中,由梅涅劳斯定理$BQ\cdot CA\cdot NO=CQ\cdot AN\cdot BO$
即$zc\cdot(x+1)a\cdot \lambda_2 q=c\cdot a\cdot q$
从而$\displaystyle \lambda_2=\frac{1}{z(x+1)}$
在$\triangle CAM$中,由梅涅劳斯定理$CN\cdot AB\cdot MO=AN\cdot BM\cdot CO$
即$xa\cdot(y+1)b\cdot \lambda_3 h=a\cdot b\cdot h$
从而$\displaystyle \lambda_3=\frac{1}{x(y+1)}$
综上,我们有

$$\begin{cases} abc=1\\ \displaystyle HQ=\frac{ab}{b+1}AH\\ \displaystyle HN=\frac{bc}{c+1}BH\\ \displaystyle HM=\frac{ac}{a+1}CH \end{cases}$$

杠杆法

我们再来看看使用杠杆法的情况

我们假设在$B$点有一个质量为$m$的质点,则在以$Q$为支点的杠杆$BC$上,有$m(B)\times zc=m(C)\times c$,从而得出$m(C)=zm$,类似的,可以得到$\displaystyle m(A)=\frac{m}{y}=xzm$.从而我们可以得到$xyz=1$
然后我们来考虑$M,N,Q$三个点的质量,$M$点的质量就是$A$,$B$两点的质量和,即$m(M)=(xz+1)M$,同理$m(N)=(x+1)zm$,$m(Q)=(z+1)m$
从而得到$\displaystyle \lambda_1=\frac{OQ}{OA}=\frac{m(Q)}{m(A)}=\frac{xz}{z+1}=\frac{1}{y(z+1)}$.其余同理,可以得出完全一样的结论