三次方程求根公式

我们考虑方程

$$ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)$$

我们先把最高次项系数化为$1$,即化为:

$$x^3+Ax^2+Bx+C=0$$

设法消去二次项,我们不妨设当$x=y+m$时,二次项恰被消去,那么此时我们有:

$$(y+m)^3+A(y+m)^2+B(y+m)+C=0$$

将其展开:

$$y^3+(3m+A)y^2+(3m^2+2Am+B)y+m^3+Am^2+Bm+C=0$$

我们是为了消去二次项,即令$3m+A=0$,即令$\displaystyle m=-\frac{A}{3}$.从而原式子化

$$y^3+\left(\frac{A^2}{3}-\frac{2A^2}{3}+B\right)y-\frac{A^3}{27}+\frac{A^3}{9}-\frac{AB}{3}+C=0$$

也就是:

$$y^3+\left(B-\frac{A^2}{3}\right)y+\frac{2A^3-9AB+27C}{27}=0$$

我们令$\displaystyle p=B-\frac{A^2}{3}$,$\displaystyle q=\frac{2A^3-9AB+27C}{27}$来化简式子,此时原式子化为

$$y^3+py+q=0$$

我们令$y=u+v$,其中,$u,v\in\mathbb{C}$,则原式化为

$$(u+v)^3+p(u+v)+q=0$$

也就是:

$$u^3+v^3+(u+v)(3uv+p)+q=0$$

由于只有$u+v$是固定的$y$,而$uv$可以取任意值,所以此处我们取合适的$u,v$,使得$3uv+p=0$来消去一次项,那么此时就变为了$u^3+v^3=-q$,结合先前的$3uv+p=0$,我们就得出了:

$$\begin{dcases} u^3+v^3=-q\\ u^3v^3=-\frac{p^3}{27} \end{dcases}$$

最终不难解得:

$$u^3=v^3=\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2}$$

那么此时我们只需得出$x^3=n$的解即可

三次单位根的探究

显然,其中有一个根为$x_1=\sqrt[3]{n}$,那么我们不妨设另外两根分别为$x_2,x_3=a+b\mathrm{i},a,b\in\mathbb{R}$,那么就有$(a+b\mathrm{i})^3=n$,展开得:

$$a^3-b^3\mathrm{i}+3a^2b\mathrm{i}-3ab^3=n$$

我们直接对比等号两端的实部与虚部:

$$\begin{cases} a^3-ab^2=n\\ 3a^2b=b^3 \end{cases}$$

解得:

$$\begin{dcases} a=-\frac{\sqrt[3]{n}}{2}\\ b=\pm\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{n}}{2} \end{dcases}$$

从而我们得出$x^3=n$的解为

$$\begin{dcases} x_1=\sqrt[3]{n}\\ x_2=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\sqrt[3]{n}\\ x_3=\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\sqrt[3]{n} \end{dcases}$$

我们记$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$,不难发现,$\displaystyle \omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$,$\omega^3=1$

从而,在此记号下,我们通常把解写为:

$$\begin{cases} x_1=\omega^1\sqrt[3]{n}\\ x_2=\omega^2\sqrt[3]{n}\\ x_3=\omega^3\sqrt[3]{n} \end{cases}$$

由此,我们可以解出$u,v$的值,对应的一共有$3\times 3=9$种排列组合,挨个带入得出方程的解,最终得到公式为:

$$\begin{dcases} x_1=-\frac{A}{3}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{2}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{2}+\frac{p^3}{27}}}\\ x_2=-\frac{A}{3}+\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{2}+\frac{p^3}{27}}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{2}+\frac{p^3}{27}}}\\ x_3=-\frac{A}{3}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{2}+\frac{p^3}{27}}}+\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{2}+\frac{p^3}{27}}} \end{dcases}$$

例

例如:对于方程

$$x^3=x^2+x+1$$

进行简单化简

$$x^3-x^2-x-1=0$$

我们令$x=y+\frac{1}{3}$并化简得

$$y^3-\frac{4y}{3}-\frac{38}{27}=0$$

我们令$y=u+v$,则:

$$\begin{dcases} u^3+v^3=\frac{38}{27}\\ u^3v^3=\frac{64}{27^2} \end{dcases}$$

解得

$$\begin{align*} u^3=v^3=\frac{19\pm3\sqrt{33}}{27} \end{align*}$$

从而:

$$\begin{dcases} x_1=\frac{1}{3}+ \frac{\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}}{3}+ \frac{\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3}\\ x_2=\frac{1}{3}+\omega \frac{\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}}{3}+\omega^2\frac{\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3}\\ x_3=\frac{1}{3}+\omega^2\frac{\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}}{3}+\omega \frac{\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3} \end{dcases}$$